Dlaczego nie warto grać w LOTTO?
Dzień dobry. Mówi się, że gra w loterię typu Lotto, to podatek od marzeń. Ja się nie zgadzam, moim zdaniem, co najwyżej, to podatek od nieznajomości matematyki. Bo z finansowego punktu widzenia jest tylko jedna strategia, która jest w jakikolwiek sposób opłacalna, jeżeli możemy tak w ogóle powiedzieć.
To jest transkrypcja odcinka z kanału Naukowy Bełkot – wersja wideo dostępna poniżej:
Książka Dawida:
Ale zanim o niej, to może o tym jednym przypadku w historii, który jej przeczy, tej strategii, a mianowicie o przypadku Polaka, który znalazł lukę w zasadach w loterii w Irlandii.
W maju 1992 roku mieszkający w tym kraju biznesmen polskiego pochodzenia Stefan Klincewicz postanowił skreślić wszystkie możliwe kombinacje sześciu z pośród 36 liczb. Znalazł sobie do współpracy w tym procederze 27 innych inwestorów. Na wykreślenie tych wszystkich kombinacji poświecił pół roku, a potem czekał na odpowiedni moment. Gdy ten moment nadszedł, postanowił kupić wszystkie zakłady. Kiedy organizator loterii zorientował się, że ktoś robi coś takiego, postanowił to utrudnić albo ograniczając maksymalną liczbę zakładów puszczonych w jednym punkcie, albo wręcz blokując punkty, w których zauważono, że ktoś takie rzeczy robi.
Zapytacie, dlaczego? Dlaczego organizatorzy nie chcieli, żeby ktoś zapłacił za 1.947.792 kupony, po 50 pensów każdy, to prawie milion funtów zysku. A no, dlatego że kumulacja tego dnia wynosiła ponad 1,5 mln funtów. Czyli główna wygrana przerastała koszt skreślenia wszystkich kombinacji. I to się po prostu opłacało graczom, ale tak naprawdę opłacało z matematycznego punktu widzenia. Ostatecznie grupa inwestorów kupiła 80% wszystkich zakładów, jakie miała przygotowane i…
Dobra, zanim opowiem, jak to się wszystko skończyło, zagrajmy w grę. Zagrajmy w grę, której zasady są bardzo proste. Wy rzucacie taką uczciwą sześcienną kostką do gry, ja wypłacam wam tyle złotówek, ile wrzucicie oczek na tej kostce. Jest tylko jeden szkopuł, musicie zapłacić wpisowe, które wynosi, no nie wiem, 3,40 może 3,50, może 3.60, któraś z tych. Gracie? Jeśli tak, dlaczego, kiedy, jak długo? Może wam się wydawać na pierwszy rzut oka, że te drobne różnice we wpisowym niewiele zmieniają, ale tak naprawdę opłacalność gry, różnice w opłacalności gry, które wynikają z tych groszowych zmian, są DIAMETRALNE. Bo przy wpisowym równym 3,40, powinniście grać tak długo, jak to tylko możliwe, przy 3,50 jakakolwiek dłuższa gra nie ma żadnego sensu, można powiedzieć, że generalnie gra nie ma sensu, a przy 3,60 nie opłaca się wam wchodzić w takie zakłady. Przynajmniej, inaczej, jakakolwiek dłuższa gra, skazuje was na coraz to większe straty.
Dlaczego, zapytacie? Ano, dlatego że tak mówi matematyka. Matematyka w przypadku takich zdarzeń, jak na przykład rzut kością, pozwala nam obliczyć wartości oczekiwane, a więc możemy obliczyć oczekiwaną wygraną, albo stratę w każdym z tych przypadków, a coś, co nosi nazwę – prawo wielkich liczb, mówi nam, że szanse na to, że to przewidywanie okaże się bliskie prawdy, rośnie z każdą kolejną rozpoczętą grą.
I tutaj dodaję dla jasności, ten odcinek dotyczy gier opartych o losowe zmienne niezależne. Wybieranie ponumerowanych kuleczek, rzut kością czy monetą, to przypadki takich zdarzeń. Nie łapie się tutaj na przykład za pokera, w którym obok losowości sporo też zależy od gracza.
No więc tak, to że coś jest losowe, myślę, że każdy z nas rozumie niejako intuicyjnie. Niezależność natomiast, moim zdaniem, potrafi nas zwieść. Mówi ona w uproszczeniu to, że jeden akt pomiaru zmiennej losowej nie wpływa na kolejny akt pomiaru zmiennej losowej. To znaczy wyrzucenie szóstki nie wpływa na prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki w kolejnym rzucie. Liczby z wtorku nie wpływają na to, jakie padną w czwartek, ani na to, jakie padną w sobotę. Owszem, wyrzucenie siedmiu szóstek pod rząd jest mało prawdopodobne, ale to nie oznacza, że nagle szóstka w ósmym rzucie wypadnie z częstotliwością, z prawdopodobieństwem mniejszym, niż 1/6, to nie jest to samo.
Szansa wyrzucenia orła uczciwą monetą, to 50%. Dla dwóch orłów z rzędu to 25%, a dla dziewięciu mniej niż 0.2%. Ale prawdopodobieństwo wyrzucenia dziesiątego orła po takim niezwykłym wydarzeniu wciąż wynosi 50%. Czym innym jest mało prawdopodobna sekwencja, a czym innym pojedynczy rzut w tej sekwencji. Czyli po prostu nie jest tak, że po serii orłów prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe, nie jest tak, że jak długo w Lotto nie została wylosowana trzynastka, to nagle jest większa szansa, że zostanie wylosowana 13 w tym jednym, konkretnym losowaniu. Generalnie nie ma jakiegoś takiego silnika w przyrodzie, który dba o to, żeby zawsze to prawdopodobieństwa się zgadzały, jakkolwiek byśmy ich nie liczyli.
To jest któreś podejście do poruszenia tego tematu i w 2017 roku znalazłem chyba dobry przykład, który pokazuje, że prawdopodobieństwo nie działa zachowawczo. Koszykarski przykład, więc poznajcie Dawida sprzed ponad trzech lat i jego zdolności montażu.
Bardzo pouczającym przykładem byłby w tym miejscu taki myślowy eksperyment, w którym macie desygnować zawodnika do oddania zwycięskiego rzutu osobistego. Zakładam, że rzut osobisty, to jest wydarzenie losowe, niezależne, czyli odrzucamy zmęczenie, to co się dzieje w głowie zawodnika, to czy trafił poprzednie rzuty, jeżeli ma ileś procent, to tyle procent ma. I macie do wyboru dwóch zawodników. Jeden trafia 80%, czyli średnio 4/5, a drugi zawodnik ma 20% skuteczności w rzutach osobistych, czyli trafia średnio 1/5. Kogo wybieracie? Oczywiście tego, który lepiej rzuca. I powiedziałbym, że to jest raczej dobra i rozsądna decyzja. I to jest logiczne. Co więcej, jeżeli wam powiem, że ja trafiłem 4 rzuty na 4 w tym meczu, a ja spudłowałem 4 na 4 rzuty w tym meczu, to tym bardziej powinniście się czuć utwierdzeni w waszej decyzji. Natomiast, jeżeli ktoś wierzy w to, że po wyrzuceniu pięciu orłów w rzucie monetą, oczywiście sprawiedliwą monetą, zaraz wypadnie reszka, bo jest bardziej prawdopodobna, może czuć się trochę skonfundowany.
Gdyby rzeczywiście seria orłów zwiększała szansę wyrzucenia reszki i statystyka działała zachowawczo w małej skali, czyli zawsze doszyłaby do 50% przy rzucie monetą, to okazałoby się, że gorzej rzucający zawodnik po serii pudeł jest lepszym kandydatem na oddającego decydujący rzut, niż zawodnik lepiej rzucający po serii trafień. Ale statystyka zachowawczo nie działa. I dlatego ja, ponieważ mniej więcej taką skuteczność miałem w przygodzie z koszykówką – 80%, spróbują teraz oddać zwycięski rzut. [rzut piłką do kosza] Zawsze lubiłem rzucać pod presją.
A teraz wróćmy do współczesności i do tej gry z kością, o której mówiłem. Jak to możliwe, że przy wpisowym równym 3,40 jest absolutnie opłacalna dla grającego, a przy 3,60 absolutnie opłacalna dla mnie, organizatora? Powiem nawet więcej, to samo możemy powiedzieć o wpisowym równym 3,49 i 3,51, a to dlatego że, kiedy mamy do czynienia z losowymi zmiennymi niezależnymi, możemy obliczyć wartość oczekiwaną takiej zmiennej losowej. I w przypadku tej gry, ta wartość oczekiwana, to jest oczekiwana przez was wypłata. Ile ona wynosi przy rzucie taką sześcienna kostką? 3,50. Wiem, co teraz sobie myślicie, przecież tu nie ma pola, które się nazywa 3,50. Nic nie szkodzi. Mówimy tutaj o oczekiwanej w pewien sposób średniej wypłacie przy bardzo, bardzo, bardzo wielu rzutach.
Liczy się ją w bardzo prosty sposób tak przy okazji. Mamy 1 na 6 szansę na wyrzucenie jedynki, 1 na 6 szansę wyrzucenia dwójki, itd., itd. Jeżeli do każdego możliwego wyniku damy radę przypisać prawdopodobieństwo uzyskania tego wyniku, to teraz wystarczy to prawdopodobieństwo pomnożyć przez ten wynik, a potem wszystkie takie iloczyny zsumować. I to jest wartość oczekiwana zmiennej losowej. Niezależnej zmiennej losowej. Bierzemy wszystkie możliwe wyniki, mnożymy je przez prawdopodobieństwa ich uzyskania i sumujemy. Dla uczciwej kości do gry wynikiem jest, więc coś, czego na tej kości nie ma, przynajmniej w pojedynczym rzucie – 3,50. Mówiąc inaczej, oczekiwana wypłata w tej grze, o której mówiłem przy rzucie taką uczciwą kością, to 3,50. Jeżeli koszt wejścia do gry jest większy, to jest ona opłacalna, mam na myśli – gra dla organizatora, jeżeli jest mniejszy, to jest ona opłacalna dla gracza. I oczywiście, może zdarzyć się tak, że ktoś w nieopłacalnej grze wygra, albo w opłacalnej przegra. Natomiast, ja tutaj mówię, tak jak wspomniałem, o dużej liczbie gier. W momencie, kiedy ta średnia wygrana będzie dążyła do wartości teoretycznej, bo o tym mówi nam tzw. prawo wielkich liczb, że tego powinniśmy się spodziewać w miarę, im dłużej gramy.
Mówiąc konkretnie prawo wielkich liczb stwierdza, że wraz ze wzrostem liczby pomiarów zmiennej losowej, mamy coraz większą „szansę”, że średnia z tych pomiarów będzie bliska potencjalnie przy nieskończoności równa wartości teoretycznej oczekiwanej. I od razu z miejsca przepraszam fanów matematyki, że strywializowałem trochę prawa wielkich liczba, że nie powiedziałem o silnym i słabym prawie wielkich liczb. Chodzi mi tutaj o to, żeby każdy zrozumiał mniej więcej ideę. Im więcej wykonamy rzutów taką uczciwą kością do gry, tym większa jest szansa, z większym prawdopodobieństwem powinniśmy oczekiwać sytuacji, w której średnia, z uzyskanych oczek, będzie bliska 3,50.
Mam nadzieję, że nic nie pomieszkałem, jeżeli pomieszałem, to w tym momencie pojawia się wyjaśniający napis na ekranie. A ja zmierzam do takiej konkluzji, że łącząc te bardzo jednak chyba logiczne i proste prawa matematyki, można powiedzieć na przykład, że 99 na 100 filmów, w których ktoś zdrapuje 100 zdrapek, skończy się jego stratą. Ja to policzyłem i ja to zrobiłem. Dwukrotnie. Bo to trzeci raz, kiedy nagrywam film na ten temat i za pierwszym, i za drugim razem zdrapywałem 100 zdrapek. Filmy na ten temat nie ukazały się wcześniej, bo pierwszy był przegadany, a drugi był wizualnie nieładny i przegadany. W każdym razie w obu przypadkach zdrapywałem 100 zdrapek, po wcześniejszym obliczeniu, ile przegram w taki sposób. Za pierwszym razem przewidziałem stratę w wysokości 51 zł, za drugim 48 złotych. W pierwszym przypadku przegrałem 50 zł, w drugim 39 zł. I żeby nie było nagrania z tego procederu zdrapywania umieszczam w tym momencie, jako niepubliczne na moim drugim kanale. Jeżeli chcecie zobaczyć, sprawdzić, jak to wyglądało, linki znajdziecie w opisie. Bo teraz ważne dla tego filmu przynajmniej, jest to, jak ja te straty obliczyłem. No więc zrobiłem dokładnie tak samo, jak z tą kością. Wziąłem prawdopodobieństwa, pomnożyłem przez wygrane i zsumowałem. Skąd znałem prawdopodobieństwa? Tutaj w sukurs przyszła mi strona internetowa organizatora zdrapki. Bo można znaleźć na niej informację, ile w obiegu pozostało zdrapek z konkretnymi nagrodami, aby więc wyliczyć prawdopodobieństwo tej konkretnej nagrody, trzeba tylko podzielić liczbę zdrapek, które jeszcze nie zostały kupione, a które zawierają taką nagrodę przez sumaryczną liczbę wszystkich zdrapek w obiegu.
A 100 zdrapek kupiłem po to, żeby mieć taką, zgodnie z prawem wielkich liczb, rozsądną szansę na konkretne, dokładne przewidzenie, obliczenie tej straty, warto tutaj zwrócić uwagę, że w grach takich, jak zdrapki, jak Lotto więcej zdrapek, więcej zakładów, to nie jest większa szansa na wygraną, ale więcej szans na mało prawdopodobną wygraną. Sumarycznie, to co tak naprawdę rośnie i to co jest istotne, to prawdopodobieństwo, że finalna strata będzie bliższa teoretycznej.
Tak należy interpretować prawo wielkich liczb. Nie zrozumcie mnie źle, to jest tak, że ktoś czasami wygrywa i ktoś wygrywa. Moje symulacje komputerowe, mój komputer sto milionów razy zdrapał 100 zdrapek z takiej puli, z jakiej ja je kupowałem. Pokazywały, że mniej więcej 1 osoba na 100, która kupi 100 zdrapek, będzie na plus, ale 99 osób traci. Generalnie zdrapki to nie jest dobra metoda zarabiania pieniędzy. To jest gra, która jest kalkulowana na zysk organizatora. Tak nam mówi matematyka, tak nam mówi statystyka.
A Lotto? Lotto też. W Polsce prawdopodobieństwo trafienie szóstki wynosi 1 na ponad 13 mln. Co to oznacza? Oznacza to, że grając dwa razy w tygodniu po jednym zakładzie przez 50 lat, szansa na to, że nie wygramy głównej wygranej wynosi 99,96%. W tym czasie władujemy w zakłady, po obecnej cenie, ponad 15 tys. zł. Mówiąc inaczej, szansa na główną wygraną przez pół wieku grając w każdym losowaniu z jednym zakładem wynosi 0,04%. Bardzo mało. W skali globalnej trafiłem na informację, że szansa na bycie trafionym przez piorun w ciągu półwiecza, to około 0,05%. Aby w tym samym czasie, a więc w ciągu pół wieku, mieć 50% szans na wygranie głównej wygranej, trzeba by w każdej losowaniu skreślać 1900 kombinacji. Przez 50 lat. I dopiero wtedy nasza szansa na uzyskanie głównej wygranej sprowadzałaby się mniej więcej do szansy wyrzucenia orła czy reszki uczciwą monetą.
Oczywiście, są jeszcze nagrody za trójki, czwórki i piątki. Wygrane są, co prawda zmienne, bo zależą od liczby grających, ale trafiłem na informację, że średnio każda złotówka zainwestowana w Lotka przynosi 69 gr. straty. Więc jest to jeszcze bardziej nieopłacalne niż zdrapki.
Oczywiście jest taki prób kumulacji, przy którym każda zainwestowana złotówka przynosi jakiś zysk, czy oczekiwalibyśmy, że przyniesie zysk. I zakładając, że tylko jedna osoba wygrywa główną wygraną w Polsce to jest próg 35-40 mln zł kumulacji. Podkreślam, w momencie, kiedy wygrywa jedna osoba, wtedy ta gra, czy oczekiwana wygrana z każdej złotówki, to jest złotówka z groszami. Jeżeli wygra jedna osoba, jeżeli nie, to znowu jest to nieopłacalne.
Generalnie nasze mózg są bardzo słabe w prawdopodobieństwu, bardzo łatwo dajemy się zwieść małej szansie na wielką wygraną, nie widząc tego, że bardziej prawdopodobne ścieżki prowadzą, nawet nie to, że do mniejszych wygranych, tylko do straconych pieniędzy. I nie ogranicza się to tylko do loterii liczbowych.
W każdy razie Lott jest nieopłacalne, przynosi zyski organizatorowi. Mówiąc zyski, mam na myśli przychody na poziomie miliardów złotych, zyski na poziomie setek milionów złotych każdego roku.
Zakłady bukmacherskie, bardziej skomplikowana matematyka, można powiedzieć, że mniej przewidywalna, ale także wszystko jest tam kalkulowane tak, żeby zyskiwał organizator, a więc żeby tracił gracz.
I tutaj jeszcze taka osobista wycieczka. No ja jestem bardzo negatywnie nastawiony do tego typu gier losowych, które są kalkulowane, przypominam, na straty grającego, bo wiem, że po pierwsze ma to powodować uzależnienia od hazardu, a po drugie, wiem, że zwykle największą część domowych budżetów przeznaczają na takie gry najbiedniejsze gospodarstwa domowe. Więc slogany typu: „żeby wygrać trzeba grać” albo że to się pomaga szczęściu w ten sposób, moim zdaniem są bardzo nie na miejscu, wysoce nieetyczne. To że to wszystko jest powiązane z instytucjami publicznymi też nie za bardzo mi się, powiedziałbym, podoba, ale to jest takie moje, uzasadnione matematycznie, myślenie.
A teraz wróćmy do historii tego polskiego inwestora, który skreślił wszystkie kombinacje w irlandzkiej loterii, puścił tylko 80% zakładów, bo organizator loterii mu w tym przeszkadzał. No na jego szczęście i 27 współinwestorów była zwycięska kombinacja w tych 80%. Na nieszczęście, dwie inne osoby ją skreśliły. A więc po wydaniu 820 tys. funtów na te zakłady, które udało im się puścić, wygrali 560 tys., trzeba jeszcze do tego doliczyć piątki i czwórki, i trójki, sumarycznie wyszło ponad 1. 150.000 funtów. Co po odliczeniu kosztów, podatków i podzieleniu tego na te niemal 30 osób dało zysk netto wysokości jakieś 10 tys. funtów brytyjskich. W latach 90. nie było to tak mało, ale czy uzasadniałoby to pół roku skreślania? [gest niezdecydowania] Aby nie doszło do podobnych sytuacji w przyszłości, loteria irlandzka jeszcze w `92 roku dołożyła trzy kule do puli 36, spośród których odbywało się losowanie. Liczba kombinacji wzrosła więc do 3.262.623. Dwa lata później kul było już 42, a kombinacji 5.245.786.
Najbardziej zabawne, przynajmniej dla mnie, w tej całej historii jest to, że Klincewicz potem napisał książkę „Win the Lotto”. Co jest tak naprawdę ironią losu, bo jest tylko jeden przepis, który finansowo zabezpiecza nasz w kontekście udziału w loteriach, jeden, jedyny, matematycznie uzasadniony. Ponieważ wszystkie one są kalkulowane na stratę grającego, to długofalowo maksymalizujemy stan naszych portfeli nie biorąc w nich udziału.
To już. To jest ta strategia, która najlepiej, z największym prawdopodobieństwem odbije się na waszych finansach. Nie grajcie w loteriach, które są kalkulowane na waszą stratę. Cieszę się, że mogłem pomóc.
Do zobaczenia. Do usłyszenia.
Autor odcinka – Dawid Myśliwiec